Question

若直线ax-by+1=0平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,直线和圆的方程的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1-2b）b=-2（b-

1

4

）²+

1

8

，求得ab的取值范围．

解答： 解：∵直线ax-by+1=0平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
∴直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2），
∴有a+2b=1，
∴ab=（1-2b）b=-2（b-

1

4

）²+

1

8

≤

1

8

，
∴ab的取值范围是(-∞，

1

8

]．
故答案为：(-∞，

1

8

]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，配方法的应用，属于基础题．