Question

设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通项a_n，b_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列的定义证明数列{

bn

}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出

bn

的通项公式，进而求出b_n，a_n．

解答： 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=

bnbn+1

③．
将③代入①得，对任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

．
∵b_n＞0，
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差数列．
设数列{

bn

}的公差为d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=

9

2

．
∴

b1

=

2

，

b2

=

3 2

2

，
d=

2

2

．
∴

bn

=

n+1

2

2

，
∴b_n=

(n+1)2

2

．
a_n=

bn-1bn

=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{

bn

}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．