Question

设递增等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，S₃=13，数列{b_n}满足b₁=a₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

bn

an

，数列{c_n}的前n项和T_n，若T_n＞2a-1恒成立（n∈N^*），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式和前n项和公式求出公比，再由递增等比数列的性质能求出{a_n}的通项公式；由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，知b_n+1-b_n=2，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n，求出T_n的最小值，由此能求出实数a的取值范围，

解答： 解：（Ⅰ）∵递增等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，S₃=13，
∴

a2=3 S3=a1+a2+a3=13

，
解得q=3或q=

1

3

，
∵数列{a_n}为递增等比数列，所以q=3，a₁=1．
∴{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴an=3n-1．…（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2．
∴数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）∵cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，
∴Tn=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

．

1

3

Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，…（7分）
两式相减得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-（

1

3

）^n-1-

2n-1

3n

．…（8分）
所以Tn=3-

1

2•3n-2

-

2n-1

2•3n-1

=3-

n+1

3n-1

．…（9分）
∵Tn+1-Tn=3-

n+2

3n

-3+

n+1

3n-1

=

2n+1

3n

＞0，…（10分）
∴T_n≥T₁=1．
若T_n＞2a-1恒成立，则1＞2a-1，
解得a＜1．
∴实数a的取值范围{a|a＜1}．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法和等价转化思想的合理运用．