Question

已知f(x)=ln(x+1) ， g(x)=

1

2

ax2+bx (a，b∈R)．
（1）若b=2且h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，b=1，求证：当x∈（-1，+∞）时，f（x）-g（x）≤0恒成立；
（3）设x＞0，y＞0，证明：xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：本题第（1）题利用函数单调递减，导函数值为负（非正）解题；第（2）题是恒成立问题，转化为最大值问题去解；第（3）题构造函数，利用单调性得到相关结论，通过化简变形得到结果．

解答： 解：（1）当b=2时，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
∴h′(x)=

1

x

-ax-2．
∵h（x）有单调减区间，
∴h'（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解． 
（ⅰ）当a≥0时符合题意；
（ⅱ）当a＜0时，△=4+4a＞0，即a＞-1．
∴a的取值范围是（-1，+∞）．         
（2）当a=0，b=1时，设φ（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
∴φ′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．    
∵x＞-1，
讨论φ'（x）的正负得下表：
 
∴当x=0时φ（x）有最大值0．
即φ（x）≤0恒成立．
∴当x∈（-1，+∞）时，f（x）-g（x）≤0恒成立． 
（3）∵x＞0，y＞0，
∴xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

=x(lnx-ln

x+y

2

)+y(lny-ln

x+y

2

)
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)
由（2）有-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)＞-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0
∴xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

点评：本题（1）、（2）要求学生对导数与单调区间、最值的关系相当熟悉，第（3）题除了要求学生熟悉函数单调性的应用之外，还要能熟练运用对数运算进行变形，才能得到本题结果．