Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当a、b∈R且a+b≠0时，总有[f（a）+f（b）]（a+b）＞0成立．
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）若关于x的不等式f（m×2^x）+f（2^x-4^x+m）＜0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据抽象函数的表达式，将条件进行转化即可判断，
（2）利用函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，即可得到结论．

解答： 解：（1）若a＞b，则a+（-b）＞0，
∵当a、b∈R且a+b≠0时，总有[f（a）+f（b）]（a+b）＞0成立．
∴[f（a）+f（-b）]（a-b）＞0成立．
即f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（a）+f（-b）＞0等价为f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b），
即函数f（x）为增函数．
（2）关于x的不等式f（m×2^x）+f（2^x-4^x+m）＜0对一切实数x恒成立，
等价为f（m×2^x）＜-f（2^x-4^x+m）=f（-2^x+4^x-m）对一切实数x恒成立，
∵函数f（x）为增函数．
∴不等式等价为m×2^x＜-2^x+4^x-m，
即m（1+2^x）＜-2^x+4^x=（2^x+1）（2^x-1）恒成立，
∵1+2^x＞0，
∴不等式等价为m＜2^x-1恒成立，
∵2^x-1＞-1，
∴m≤-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，将不等式恒成立转化为函数的最值是解决本题的关键．