Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）欲证直线与直线垂直，可用先证直线与平面垂直，即证明PD⊥平面BAE；
（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角；
（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，可得∠CFB为二面角C-PG-A的平面角．

解答： （1）证明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴BA⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE，
∴PD⊥BE，即BE⊥PD；
（2）解：过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．

∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=

2 3

3

a，PD=

4 3

3

a．
∴AE=

PA•AD

PD

=

2 3 3 a•2a

4 3 3 a

=a．
∵PE=

PA2

PD

=

3

3

a，CD=

2

a．
∴ME=

CD•PE

PD

=

2

4

a．
连接AC
∵在△ACD中AD=2a，AC=

2

a，CD=

2

a，
∴AD²=AC²+CD²
∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．
∴ME⊥平面PAC．
∵MA?平面PAC，
∴ME⊥AM．
∴在Rt△AME中，cos∠MEA=

ME

AE

=

2

4

．
∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

2

4

；
（3）解：延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG，CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，

∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角，
∵CB∥

1

2

AD，
∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=

2 3

3

a，AG=2a．
∴∠PGA=30°，
∴BF=

1

2

GB=

a

2

，
∴FC=

a2 4 +a2

=

5

2

a，
∴cos∠BFC=

a 2

5 2 a

=

5

5

．
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为

5

5

．

点评：求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等；二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．