Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈Z），已知方程f（x）=0在区间（-2，0）内有两个不等的实根，且对任意实数x恒有4x+2≤f（x）≤8x²+12x+4，求a、b、c的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据不等式恒成立，先确定c的取值范围，以及x=-

1

2

是方程f（x）=0的一个根，建立a，b，c的关系，进而得到a，b，c的取值，然后验证即可得到结论．

解答： 解：∵对任意实数x恒有4x+2≤f（x）≤8x²+12x+4，
∴当x=0时，不等式等价为2≤f（0）≤4，
即2≤c≤4，
当x=-

1

2

时，不等式等价为0≤f（-

1

2

）≤0，
即x=-

1

2

是方程f（x）=0的一个根，
即

1

4

a-

1

2

b+c=0，
即b=

1

2

a+2c．①
设g（x）=4x+2，h（x）=8x²+12x+4，
则g（-

1

2

）=0，h（-

1

2

）=0，
∴g'（x）=4，h'（x）=16x+12．
g'（-

1

2

）=4，h'（-

1

2

）=4，
即g（x）=4x+2是h（x）=8x²+12x+4在x=-

1

2

处的切线，
∴g（x）=4x+2也是f（x）=ax²+bx+c在x=-

1

2

处的切线，
即f'（x）=2ax+b在x=-

1

2

处的切线斜率k=f'（-

1

2

）=4=-a+b，②，
由①②得

b=4+a b= 1 2 a+2c

，
即

a=4c-8 b=4c-4

，
∵2≤c≤4，
∴当c=2时，a=0不成立．
当c=3时，a=4，b=8，此时f（x）=4x²+8x+3=（2x+1）（2x+3）．在区间（-2，0）内有两个不相等的实根x=-

1

2

或x=-

3

2

，满足条件．
当c=4时，a=8，b=12，此时f（x）=8x²+12x+4=4（2x+1）（x+1）．在区间（-2，0）内有两个不相等的实根x=-

1

2

或x=-1，满足条件．
∴a=4，b=8，c=3或a=8，b=12，c=4．

点评：本题主要考查不等式恒成立，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力．