Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）当α为何值时，AB₁⊥BC₁，且使点D恰为BC中点？
（3）（理科做）当α=arccos

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，且AC=BC=AA₁时，求二面角C₁-AB-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证：AC⊥平面BB₁C₁C，只需证明B₁D⊥AC，BC⊥AC即可；
（2）由题意可得：B₁D⊥AC，再结合题意得到：AC⊥面BB₁C₁C，得到平行四边形BB₁C₁C为菱形，再根据解三角形的有关知识可得：∠B₁BC=60°，进而结合线面角的定义得到答案．
（3）过C₁作C₁E⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，则根据二面角平面角的定义可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角，利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角．．

解答： （1）证明：∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）解：∵B₁D⊥面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵AC⊥BC，BC∩B₁D=D，
∴AC⊥面BB₁C₁C．
∵AB₁⊥BC₁，
∴由三垂线定理可知，B₁C⊥BC₁，即平行四边形BB₁C₁C为菱形，
又∵B₁D⊥BC，且D为BC的中点，
∴B₁C=B₁B，即△BB₁C为正三角形，
∴∠B₁BC=60°，
∵B₁D⊥面ABC，且点D落在BC上，
∴∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角，
∴α=60°．
（3）解：C₁作C₁E⊥BC，垂足为E，则C₁E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB，垂足为F，由三垂线定理得C₁E⊥AB．
∴根据二面角平面角的定义可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．
设AC=BC=A₁A=a，
在Rt△CC₁E中，由∠C₁CE=α=arccos

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，可得C₁E=

2 2

3

a，
∴在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=

2

2

BE=

2 2

3

a，
∴∠C₁FE=45°．
故所求的二面角C₁-AB-C为45°．

点评：本题考查线面垂直，考查求二面角的平面角与线面角，而空间角解决的关键是作角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．