Question

已知函数f（x）=

x2+ax+7-a

x+1

，a∈R．若对于任意的x∈N^*，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：将问题转化为对于任意的x∈N^*，

x2+ax+7-a

x+1

≥4恒成立，即a（x-1）≥-x²+4x-3，分类讨论，利用函数的最值关系即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

x2+ax+7-a

x+1

，a∈R，对于任意的x∈N^*，f（x）≥4恒成立，
∴对于任意的x∈N^*，

x2+ax+7-a

x+1

≥4恒成立，
即x²+ax+7-a≥4（x+1）恒成立，
∴a（x-1）≥-x²+4x-3，
x=1时，a∈R；
x＞1，x∈N^*，则a≥-x+3，∴a≥-2+3，即a≥1．
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．