Question

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，O是CD的中点，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求证：MO∥面ABC；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）通过证明AB∥MO，利用直线与平面平行的判定定理证明MO∥面ABC；
（2）以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．求出平面ACM的法向量为

n1

=(x，y，z)，结合平面BCD的法向量为

n

=(0，0，1)，即可求解平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵△MCD为正三角形且O是CD的中点，∴MO⊥CD…（1分）
∵面MCD⊥面BCD；面MCD∩面BCD=CD，MO?面MCD…（2分）
∴MO⊥面BCD；…（3分）
又∵AB⊥面BCD；∴AB∥MO…（4分）
∵MO?面ABC，AB?面ABC； …（5分）
∴MO∥面ABC…（6分）
（2）以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．…（7分）
OB=OM=

3

，则各点坐标分别为O（0，0，0），
C（1，0，0），M（0，0，

3

），B（0，-

3

，0），
A（0，-

3

，2

3

），…（8分）

CM

=(-1，0，

3

)，

CA

=(-1，-

3

，2

3

)．
设平面ACM的法向量为

n1

=(x，y，z)，
由

n1 • CM =0 n1 • CA =0

得

-x+ 3 z=0 -x- 3 y+2 3 z=0

．…（9分）
解得x=

3

z，y=z，取

n1

=(

3

，1，1)．…（10分）
又平面BCD的法向量为

n

=(0，0，1)，…（11分）
则cos＜

n1

，

n

＞=

n • n1

| n || n1 |

=

5

5

…（13分）
设所求二面角为θ，则sinθ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．…（14分）

点评：本题主要考查利用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角与线面角的有关知识，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，解决空间角也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角．