Question

已知非负数a、b、c满足a+b+c=1，证明：

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：通过重要不等式，a²+b²≥2ab证明

ab

c+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，类似推出所证明不等式左侧的两个表达式，可以综合法证明即可．

解答： 解：∵非负数a、b、c满足a+b+c=1，
又a²+b²≥2ab，∴a²+b²+4c²+2ab+4bc+4ac≥4c²+4ab+4bc+4ac，
即（a+b+2c）²≥4（c²+ab+bc+ac）=4（a+c）（b+c），
∴

1

a+b+2c

≤

1

4

•

a+b+2c

(a+c)(b+c)

=

1

4

（

1

a+c

+

1

b+c

），
可得

ab

a+b+2c

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，
即

ab

c+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，
同理

bc

a+1

≤

1

4

(

bc

b+a

+

cb

c+a

)，

ac

b+1

≤

1

4

(

ca

a+b

+

ca

b+c

)，
∴

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

+

bc

b+a

+

cb

c+a

+

ca

a+b

+

ca

b+c

)=

1

4

(a+b+c)=

1

4

，
∴

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

．

点评：本题考查不等式的证明，综合法的应用，解题的关键是分析所证明不等式的左侧形式，开学分析问题解决问题的能力．