Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．
（1）证明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出四边形ABCD是菱形，从而得到CO⊥AB，AB⊥平面POC，由此能够证明AB⊥PC．
（2）由已知条件推导出PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （1）证明：连结AC，设AB的中点为O．连结PO，CO，
∵PA=PB，O是AB的中点，∴PO⊥AB，
∴四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，
∴AB⊥平面POC，
∵PC?平面POC，∴AB⊥PC．
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PO⊥AB，PO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
设AB=2，由（1）得PA=PB=4，PO=

15

，OC=

3

，
∴P（0，0，

15

），B（1，0，0），C（0，

3

，0），D（-2，

3

，0），
∴

BC

=(-1，

3

，0)，

CD

=(-2，0，0)，

CP

=(0，-

3

，

15

)，
设平面BCP的一个法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

BC

=0，

n

•

CP

=0，
∴

-x+ 3 y=0 - 3 y+ 15 z=0

，∴

n

=(

15

，

5

，1)，
设平面PCD的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，则

m

•

CD

=0，

m

•

CP

=0，
∴

-2x1=0 - 3 y1+ 15 z1=0

，∴

m

=(0，

5

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

5+1

21 • 6

=

14

7

，
∵二面角B-PC-D的平面角是钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-

14

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．