Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC中点．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出PB⊥AC，AC⊥平面PBC，从而得到AC⊥BE，再由BE⊥PC，能证明BE⊥面PAC．
（2）几何法：取BC中点F，过F作FM⊥AB，连结FM，由已知条件推导出∠EMF为二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的余弦值．
向量法：以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角E-AB-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵PB⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，
∵BC⊥AC，PB?PBC，BC?面PBC，PB∩BC=B，
∴AC⊥平面PBC，
又∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E为PC中点，
∴BE⊥PC，
∵AC?平面PAC，PC?平面PAC，PC∩AC=C，
∴BE⊥面PAC．
（2）解：方法一：取BC中点F，过F作FM⊥AB，连结FM，
过E作EF⊥BC，F为垂足．由已知得EF⊥面ABC，
过F作FM⊥AB，M为垂足，连接EM，
∴EF∥PB，由（1）知EF⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴EF⊥AB，
∵FM⊥AB，∴AB⊥平面EFM，
∵EM?平面EFM，∴EM⊥AB，
∴∠EMF为二面角E-AB-C的平面角，
在Rt△EFM中，EF=

1

2

PB=2，
FM=FBsin∠B=

2

，
∴EM=

EF2+FM2

=

6

，
cos∠EMF=

FM

EM

=

3

3

，
∴二面角E-AB-C的余弦值为

3

3

．
方法二：以B为原点建立空间直角坐标系B-xyz，
由题设知：B（0，0，0），C（4，0，0），A（4，4，0），
P（0，0，4），E（2，0，2），
∴

BA

=(4，4，0)，

BE

=(2，0，2)，
平面ABC法向量为

n

=(0，0，1)，…（10分）
设平面ABE法向量为

m

=(x，y，z)．
则

BA

•

m

=0，

BE

•

m

=0，
∴

4x+4y=0 2x+2z=0

．
令z=1，得x=-1，y=1，．即

m

=(-1，1，1)，
设二面角E-AB-C为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

1× 3

|=

3

3

．
故二面角E-AB-C的余弦值为

3

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．