Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x（x?R）
（Ⅰ）求证：当x≥0时，f(x)≥2x+

x3

3

；
（Ⅱ）试讨论函数H（x）=f（x）-ax（x∈R）的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：压轴题,导数的综合应用

分析：本题（Ⅰ）要通过研究导函数的正负得到函数的单调性；再通过研究导函数的导函数的正负，得到导函数的单调性；再通过研究导导函数的函数的导函数的正负，得到导函数的导函数的单调性，得到不等关系．本题（Ⅱ）要通过分类讨论，结合函数的奇偶性和单调性，研究函数零点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）令g(x)=f(x)-2x-

x3

3

，(x≥0)
则g'（x）=f'（x）-2-x²=e^x+e^-x-2-x²，g''（x）=f（x）-2x，
∵g'''（x）=f'（x）-2=e^x+e^-x-2
当x≥0时，e^x＞0，e^-x＞0，∴ex+e-x≥2

ex•e-x

=2
∴g'''（x）≥0，∴函数y=g''（x）（x≥0）为增函数，
∴g''（x）≥g''（0）=0，即f（x）-2x≥0
∴函数y=g'（x）（x≥0）为增函数，
∴g'（x）≥g'（0）=0，即e^x+e^-x≥2+x²
∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即当x≥0时，f(x)≥2x+

x3

3

成立；
（Ⅱ）（1）当a≤2时，∵H（x）=f（x）-ax
∴H′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a≥2

ex•e-x

-a=2-a≥0
∴函数y=H（x）（x∈R）为增函数，
当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，当x＜0时，H（x）＜H（0）=0，
∴当a≤2时，函数y=H（x）的零点为x=0，其零点个数为1个
（2）当a＞2时，∵对?x∈R，H（-x）=-H（x）
∴函数y=H（x）为奇函数，且H（0）=0
下面讨论函数y=H（x）在x＞0时的零点个数：
由（Ⅰ）知，当x₀＞0时，ex0+e-x0＞2，令a=ex0+e-x0
∴H(x)=f(x)-(ex0+e-x0)x (x＞0)
则H′(x)=f′(x)-(ex0+e-x0)，H''（x）=f''（x）=e^x-e^-x
当x＞0时，e^x＞1，0＜e^-x＜1，∴e^x-e^-x＞0，∴H''（x）＞0
∴函数y=H'（x）（x＞0）为增函数
∴当0＜x≤x₀时，H'（x）≤H'（x₀）=0；当x＞x₀时，H'（x）≥H'（x₀）=0
∴函数y=H（x）（x＞0）的减区间为（0，x₀]，增区间为（x₀，+∞）
∴当0＜x＜x₀时，H（x）＜H（0）=0
即对?x₀∈（0，x₀]时，H（x）＜0
又由（Ⅰ）知，H(x)=f(x)-(ex0+e-x0)x≥2x+

x3

3

-(ex0+e-x0)x=x[

x2

3

-(ex0+e-x0-2)]
当x₀＞0时，由③知ex0+e-x0＞2+

x

2 0

＞

x 2 0

3

+2，
∴

3(ex0+e-x0-2)

＞x0
故，当x＞

3(ex0+e-x0-2)

＞0时，

x2

3

-(ex0+e-x0-2)＞0
∴x[

x2

3

-(ex0+e-x0-2)]＞0，即H（x）＞0
由函数y=H（x）（x≥x₀）为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯一实数x*∈(x0，

3(ex0+e-x0-2)

]使得H（x^*）=0，又函数y=H（x），x∈R为奇函数
∴函数y=H（x），x∈R，有且仅有三个零点．

点评：本题（Ⅰ）通过三阶导数的研究，逐步通过导函数的正负得到函数的值的大小，逻辑思维能力要求较高；（Ⅱ）通过分类讨论后，再分别用单调性和奇偶性研究零点，对学生计算能力和表达能力要求高．