Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，若 E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为

2 5

5

，
（1）求CD的长
（2）求证BC⊥平面PBD
（3）设Q为侧棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P的大小为45°．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．由已知条件利用向量法能求出CD的长．
（2）由题设条件推导出PD⊥BC，

BC

•

BD

=0，

BC

•

BP

=0，由此能证明BC⊥平面PBD．
（3）分别求出平面PBD的一个法向量和平面QBD的一个法向量，由二面角Q-BD-P的大小为45°，利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．∵∠ADC=90°，
∴如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
∵AB=AD=PD=1，E为PC的中点，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1）．
设CD=t，则C（0，t，0），E（0，

t

2

，

1

2

），
∴

BE

=(-1，

t

2

-1，

1

2

)，
面PDC的法向量为

n

=（1，0，0），
∵BE与平面PDC所成的角的正弦值为

2 5

5

，
∴|cos＜

BE

，

n

＞|=|

-1

1× 1+( t 2 -1)2+ 1 4

|=

2 5

5

，
解得t=2．∴CD的长是2．（4分）
（2）又∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，
∵

BC

=(-1，1，0)，

BD

=(-1，-1，0)，

BP

=(-1，-1，1)，
∴

BC

•

BD

=0，

BC

•

BP

=0，
∴BC⊥BD，BC⊥BP，
∵BD∩BP=B，
∴BC⊥平面PBD．（6分）
（3）∵BC⊥平面PBD，∴平面PBD的一个法向量为

BC

=（-1，1，0），
∵

PC

=（0，2，-1），

PQ

=λ

PC

，λ∈（0，1），∴Q（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的一个法向量为

n

=（a，b，c），
∵

DB

=（1，1，0），

DQ

=（0，2λ，1-λ），

n

•

DB

=0，

n

•

DQ

=0，
∴

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，取b=1，∴

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

），（8分）
∵二面角Q-BD-P的大小为45°，
∴cos45°=|cos＜

n

，

BC

＞|=|

1+1+0

2 • 2+( 2λ λ-1 )2

|=

2

2

．
∵λ∈（0，1），∴λ=

2

-1．（12分 ）．

点评：本题考查线段长的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查满足二面角条件的参数的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．