Question

若不等式2x＞x²+a对于一切x∈[-2，3]恒成立，则实数a的取值范围（　　）

• A、（-∞，-8）
• B、（-∞，-3）
• C、（-∞，1）
• D、（-8，-∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分离参数a，依题意知，a＜2x-x²对于一切x∈[-2，3]恒成立，令f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，则a＜f（x）_min，利用二次函数的单调性即可求得f（x）_min，从而可得答案．

解答： 解：∵2x＞x²+a对于一切x∈[-2，3]恒成立，
∴a＜2x-x²对于一切x∈[-2，3]恒成立，
令f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
则a＜f（x）_min．
∵f（x）在[-2，1]上单调递增，在[1，3]上为减函数，且f（-2）=-8，f（3）=-3，
∴f（x）_min=-8，
∴a＜-8．
故实数a的取值范围为（-∞，-8）．
故选：A．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．