Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能够证明FC∥平面EAD；
（2）证明FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，求得平面BFC、平面AFC的法向量，由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答： （1）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF．
因为AD?平面FBC，DE?平面FBC，
所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC…（2分）
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，
所以平面FBC∥平面EAD
又FC?平面FBC，
所以FC∥平面EAD…（4分）
（2）解：连接FO、FD，则
因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形，
因为O为BD中点．所以FO⊥BD，
又因为O为AC中点，且FA=FC，
所以AC⊥FO
又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD…．（6分）
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA=OF=

3

，
所以O(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，F(0，0，

3

)…..（8分）
所以

CF

=（

3

，0，

3

），

CB

=（

3

，1，0），
设平面BFC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则有

3 x+ 3 z=0 3 x+y=0

，令x=1，则

n

=（1，-

3

，1）
因为BD⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为

OB

=（0，1，0）…．（10分）
因为二面角A-FC-B为锐二面角，设二面角的平面角为θ
则cosθ=|

n • OB

| n || OB |

|=

15

5

，
所以二面角A-FC-B的余弦值为

15

5

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查学生分析解决问题的能力，注意向量法的合理运用．