Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求点C到平面DEB的距离；
（3）求二面角E-BD-P的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出PD⊥BC，CD⊥BC，由此得到BC⊥平面PCD，从而能够证明DE⊥平面PCB．
（2）过点C作CM⊥BE于点M，平面DEB⊥平面PCB，从而得到线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，由此能求出结果．
（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-P的余弦值．

解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∵PD=CD，E是PC的中点，
DE⊥PC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PCB．…（4分）
（2）解：过点C作CM⊥BE于点M，
由（1）知平面DEB⊥平面PCB，
又平面DEB∩平面PCB=BE，
∴CM⊥平面DEB，
∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，
∵PD=AB=2，PD=AB=CD=2，∠PDC=90°，
∴PC=2

2

，EC=

2

，BC=2，
∴BE=

6

，∴CM=

CE•BC

BE

=

2 3

3

．…（8分）
（3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
∴

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，1，1)，
设平面BDE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2x+2y=0 y+z=0

，令z=1，得到y=-1，x=1，∴

n

=(1，-1，1)，
又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，

AC

=(-2，2，0)，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为

m

=(1，-1，0)．
设二面角E-BD-P的平面角为α，
则cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+1+0

2 • 3

|=

6

3

．
∴二面角E-BD-P的余弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．