Question

已知|x 12-x 22+b（x₁-x₂）|≤4对任意x₁，x₂∈[-1，1]恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行因式分解，利用绝对值不等式的性质即可求得b的取值范围．

解答： 解：|x 12-x 22+b（x₁-x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂+b）|=|x₁-x₂|•|x₁+x₂+b|≤4，
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴x₁∈[-1，1]，x₂∈[-1，1]，
则x₁+x₂∈[-2，2]，x₁-x₂∈[-2，2]，
即0≤|x₁-x₂|≤2，
要使|x₁-x₂|•|x₁+x₂+b|≤4成立，
则|x₁+x₂+b|≤2即可，
∵b-2≤x₁+x₂+b≤b+2，
∴

b-2≤2 b-2≥-2

，
即

b≤4 b≥0

，
∴0≤b≤4，
即b的取值范围是[0，4]．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用绝对值不等式的性质是解决本题的关键．