Question

在三棱锥P-ABC中，侧棱长均为

97

2

，底边AC=4，AB=2，BC=2

3

，D、E分别为PC、BC的中点．
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）求二面角C-DA-E的平面角．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间向量及应用

分析：（Ⅰ）求出三棱锥P-ABC的底面积和高，即可求出三棱锥的体积；
（Ⅱ）根据二面角的定义或者利用向量法即可求二面角C-DA-E的平面角．

解答：  解：证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OP，OB（图1），（1分）
易得：OP⊥0A，OP=

CP2-OC2

=

97 4 -4

=

9

2

…（2分）
∵AC=4，AB=2，BC=2

3

，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，
即OB=OC=2．
∴PB²=OB²+OP²，即OP⊥OB．…（4分）
又∵AC∩BO=O，且AC，0B?面ABC，
∴OP⊥平面ABC…（5分）
三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

•OP•

1

2

AB•BC=3

3

．…（6分）
（Ⅱ）法一：（图2）作EG⊥AC，GH⊥DF于G，H点，连接EH，
∵OP平面ABC，EG?平面ABC，EG⊥OP         …（7分）
又AC∩OP=O，且AC，0P?面PAC，
∴EG⊥平面PAC．
∵DA?平面PAC，
∴DA⊥EG         …（8分）
又EG∩GH=G，且EG，GH?面EGH，
∴DA⊥平面EGH…（9分）
∵EH?面EGH，
∴EH⊥DA…（10分）
∴∠EHG为二面角C-DF-E的平面角．…（11分）
∵EG=CEsin30°=

3

2

，CG=CEcos30°=

3

2

，AG=

5

2

，
由（Ⅰ）知OP=

9

2

，
∴AD=

( 1 2 OP)2+( 3 4 AC)2

=

81 16 +9

=

15

4

．
∴S△DAG=

1

2

×

1

2

OP•AG=

1

2

GH

1

2

•DA，
∴GH=

3

2

，
∴tan∠EHG=

3

3

，
∴∠EHG=

π

6

…（14分）
法二：以O为原点，以OC，OP为y，z轴建系，则D（0，1，

9

4

），E（

3

2

，

1

2

，0），A（0，-2，0），（8分）
设

n

=（1，y，z）为平面DEA的法向量，则有

n • DE =(1，y，z)•( 3 2 ，- 1 2 ，- 9 4 )=0 n • DA =(1，y，z)•(0，-3，- 9 4 )=0

，
即

3 2 - 1 2 y- 9 4 z=0 -3y- 9 4 z=0

…（11分）
∴y=-

3

5

，z=

4 3

15

                                …（12分）
又∵

OP

=(

9

2

，0，0)为平面DEA的法向量，
∴cos?θ=

| OP ? n |

| OP || n |

=

9 2

9 2 ? 1+ 3 25 + 16 75

=

3

2

，
二面角C-DA-E的平面角为

π

6

．…（14分）

点评：本题主要考查空间几何体的体积计算，以及空间二面角的计算，综合考查学生的计算能力．