Question

已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求证：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．
（Ⅱ）以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，由题设条件分别求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法，利用二面角F-BD-A的大小为60°，即可求a的值．

解答： （Ⅰ）证明：在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF；
（Ⅱ）解：∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F（0，

3

，a），B（-1，

3

，0），
∴

FB

=（-1，0，-a），

FD

=（1，-

3

，-a），
平面ABD的法向量

n

=（0，0，1），设平面FBD的法向量

m

=（x，y，z），
则

-x-az=0 x- 3 y-az=0

，
∴

m

=（-a，-

2a

3

，1），
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=

1

a2+ 4 3 a2+1

=

1

2

．
∴a=

3 7

7

．???????????????????

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题．