Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且a²=b²+c²-bc．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，S为△ABC的面积，求S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）将a的值代入已知等式，并利用基本不等式求出bc的最大值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出S的最大值．

解答： 解：（1）∵a²=b²+c²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

3

；
（2）∵a=

3

，
∴b²+c²-bc=3，即b²+c²=3+bc，
又b²+c²≥2bc，
∴3+bc≥2bc，即bc≤3，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3 3

4

，
则S的最大值为

3 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．