Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：BN⊥平面C₁NB₁；
（2）求二面角C-NB₁-B的正切值的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BN⊥平面C₁NB₁，只需证明BN⊥B₁C₁，BN⊥B₁N即可；
（2）证明∠CNB为所求二面角的平面角，在Rt△BCN中，可求二面角C-NB₁-B的正切值的大小．

解答： （1）证明：据题意易得B₁C₁⊥平面ABB₁N，
∴BN⊥B₁C₁，
∵BN=4

2

，BB₁=8，NB₁=4

2

，
∴BN⊥B₁N，
∵B₁C₁∩B₁N=B₁，
∴BN⊥平面C₁NB₁；
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁N，BN⊥B₁N，
∴CN⊥B₁N，
∴∠CNB为所求二面角的平面角．
在Rt△BCN中，tan∠CNB=

4

4 2

=

2

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是正确运用线面垂直的判定定理，正确作出面面角．