Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-n，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据S_n与a_n的关系进行化简，构造一个等比数列，即可得到结论．

解答： 解：∵S_n=2a_n-n，
∴当n=1时，a₁=2a₁-1，即a₁=1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-（2a_n-1-n+1）=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n-2a_n-1-1=0，
∴a_n=2a_n-1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴

an+1

an-1+1

=2，
即数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，首项为a₁+1=1+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
故答案为：2ⁿ-1

点评：本题主要考查等比数列的应用，根据条件构造一个等比数列是解决本题的关键．