Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求二面角A₁-BD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出A₁O⊥平面BCD，BC⊥A₁O，从而得到BC⊥平面A₁CD，由此能证明BC⊥A₁B．
（2）由题设条件推导出A₁D⊥平面A₁CD，由此能够证明平面A₁BC⊥平面A₁BD．
（3）过点O作OE⊥BD，垂足为E，连结A₁E，由题设条件推导出∠A₁EO是二面角A₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，
又∵BC?平面BCD，∴BC⊥A₁O，
又∵BC⊥CO，A₁O∩CO=O，∴BC⊥平面A₁CD，
又∵A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D．
（2）证明：∵ABCD是矩形，∴A₁D⊥A₁B，
由（1）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁BD，
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD．
（3）解：∵A₁D⊥平面A₁BC，∴A₁D⊥A₁C，
在Rt△A₁BD中，∵A₁D=6，CD=10，
∴A1C=8，A1O=

24

5

，
过点O作OE⊥BD，垂足为E，连结A₁E，
∵A₁O⊥平面BCD，A₁O⊥BD，
∴BD⊥平面A₁EO，BD⊥A₁E，
∴∠A₁EO是二面角A₁-BD-C的平面角，
又∵Rt△DEO∽Rt△DBC，
∴EO=

BC•OD

BD

=

54

5 34

，A1E=

30

34

，
∴cos∠A1EO=

EO

A1E

=

9

25

，
∴二面角A₁-BD-C的余弦值为

9

25

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算推恒能力，解题时要注意空间思维能力的培养．