Question

已知函数f（x）=x²+

2

x

．
（1）求证：f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数； 
（2）当x＞0时，若f（x）≥f（m）恒成立，求正实数m的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可证明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数； 
（2）当x＞0时，若f（x）≥f（m）恒成立，则f（m）为函数的最小值，然后建立方程关系即可求正实数m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+

2

x

．
∴f'（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，
即函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数； 
（2）当x＞0时，若f（x）≥f（m）恒成立，
则f（x）_min≥f（m）恒成立，
由（1）知当0＜x＜1时，f'（x）＜0，即此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是在（0，+∞）上的最小值，
即f（1）=1+2=3，
∴若f（x）≥f（m）恒成立，
则f（m）为函数的最小值，
即正实数m=1．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．