Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有

tanA+tanC

3

=

sinB

cosC

．
（1）求cosA的值；
（2）若b=2，c=3，D为BC上一点．且

CD

=2

DB

，求AD的长．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后，去分母整理，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，求出cosA的值即可；
（2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值，进而确定出|BC|的长，根据

CD

=2

DB

，求出|CD|的长，且利用余弦定理求出cosC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理求出|AD|的长即可．

解答： 解：（1）∵

tanA+tanC

3

=

sinB

cosC

，
∴

sinA

cosA

+

sinC

cosC

=

3sinB

cosC

，
去分母得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴3cosA=1，
∴cosA=

1

3

；
（2）∵b=2，c=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，
∴|BC|=a=3，
∵

CD

=2

DB

，
∴|DC|=2，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

9+4-9

12

=

1

3

，
∴|AD|²=2²+2²-2×2×2cosC=

16

3

，
∴|AD|=

4 3

3

．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．