Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求CB₁与平面A₁AB所成角的正弦值；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由已知条件推导出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能够证明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CB₁与平面A₁AB所成角的正弦值．
（3）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： 解：（1）∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，

3

），B（0，2，0），
C₁（-1，0，

3

），C（0，0，0），B₁（0，2，

3

），
∴

A1A

=（1，0，-

3

），

AB

=（-2，2，0），

CB1

=(0，2，

3

)，
设平面A₁AB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

A1A

=0，

n

•

AB

=0，∴

x- 3 z=0 -2x+2y=0

，
令z=1，∴

n

=（

3

，

3

，1），
∴设CB₁与平面A₁AB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

CB1

，

n

＞|=|

0+2 3 + 3

7 × 7

|=

3 3

7

．
（3）平面A₁AB的法向量

n

=（

3

，

3

，1），
平面A₁BC的法向量

AC1

=（-3，0，

3

），
∴cos＜

AC1

，

n

＞=

-3 3 + 3

7 × 12

=-

7

7

，
设二面角A-A₁B-C的平面角为α，α为锐角，
∴cosα=

7

7

，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．