Question

如图四棱锥S-ABCD中，底面是边长为2厘米的正方形，侧棱长都是2厘米．
（1）画出该棱锥的三视图，并标明尺寸；
（2）求该棱锥中二面角A-SB-C的大小的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,简单空间图形的三视图

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）正视图与过P且与底面垂直的截面完全相同．
（2）利用正视图顶角，就是面ASD与面BSC所成二面角的大小，利用余弦定理求出结果即可．

解答： 解：
（1）（如图）几何体的三视图，正视图中，PA与PD重合为PE，（E为AD是中点，PE⊥AD，PE=

3

），
PB与PC重合为PF，（F是BC的中点，并且PF⊥BC，PF=

3

）．
∵几何体是正四棱锥，
∴侧视图与正视图相同．…（6分
（等腰三角形（3分），底边长（1分），腰长2分）                 
（2）四棱锥S-ABCD中，底面是边长为2厘米的正方形，侧棱长都是2厘米，
由（1）正视图可知，平面ASD与平面BSC所成角就是正视图中∠APB，
∴面ASD与面BSC所成二面角的大小的余弦值为：cos∠APB=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求解和二面角的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．