Question

设点P是圆x²+（y+1）²=

3

4

上的动点，过点P作抛物线x²=4y的两条切线，切点为A、B，求

PA

•

PB

的最小值及取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设出切线的方程，并与抛物线的方程联立，由相切可得△=0，利用根与系数的关系及数量积即可得出

PA

•

PB

，再利用点P在圆上及函数的导数即可求出最小值．

解答： 解：由题意可知：切线PA、PB的斜率都存在，分别为k₁，k₂，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设过点P的抛物线的切线l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）．
∵直线l与抛物线相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化为k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此时，x₁=2k₁，y₁=

x12

1 4

=k12；同理，x₂=2k₂，y₂=k22．
∴

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=（2k1-m）（2k2-m）+（k12-n）（k22-n）
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+m2+（k1k2）2-n[（k1+k2）2-2k1k2]+n2
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵点P（m，n）在圆C₁上，
∴m²+（n+1）²=

3

4

，即 m²=

3

4

-（n+1）²，
代入上式可得

PA

•

PB

=n³+7n²+

25

4

n+

1

4

，
考查函数f（n）═n³+7n²+

25

4

n+

1

4

（-1-

3

2

≤n≤-1+

3

2

），．
求得f′（n）=3n²+14n+

25

4

=

1

4

（2n+1）6n+25），
令f′（n）=0，解得n=-

1

2

，或 n=-

25

6

．
当n∈（-1-

3

2

-

1

2

）时，f′（n）＜0，f（n）为减函数，
当n∈（-

1

2

，-1+

3

2

）时，f′（n）＞0，f（n）为增函数，
故当n=-

1

2

 f（n）取得最小值为f（-

1

2

）=-

5

4

，
此时对应的点P（±

2

2

，-

1

2

）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线相切问题的解决模式、根与系数的关系、利用导数求函数的最值等是解题的关键，属于中档题．