Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为线段CD中点．
（1）求直线B₁E与直线AD₁所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-

A

_

1的大小；
（3）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意及所给的图形，分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量

AD1

、

B1E

的坐标，验证其数量积为0即可得出结论；
（2）由题设条件，可求夹二面角的两个平面的法向量，可得两平面的夹角的余弦，即可求二面角A-B1E-

A

_

1的大小；
（3）由题意，可先假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，z₀），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，利用法向量与直线DP的方向向量数量积为0，由此方程解出z₀的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．

解答： 解：（1）分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=a则A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（

a

2

，1，0），B₁（a，0，1），
∴

AD1

=（0，1，1），

B1E

=（-

a

2

，1，-1），

AB1

=（a，0，1），

AE

=（

a

2

，1，0），
∵

AD1

•

B1E

=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁，
∴直线B₁E与直线AD₁所成的角的余弦值为0；
（2）连接A₁D，B₁C，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（1）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一个法向量，此时

AD1

=（0，1，1）
AB=2，设平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，则

AB1

=（2，0，1），

AE

=（1，1，0）
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

，
得

2x+z=0 x+y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一个法向量

n

=（1，-1，2），
设

AD1

与

n

所成的角为θ，则
cosθ=

AD1 • n

| AD1 || n |

=-

3

2

∴二面角A-B₁E-A₁的大小为30°；
（3）假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，z₀）使得DP∥平面B₁AE．此时

DP

=(0，-1，z0)
又设AB的长度为a，平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，则

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)
∵

n

⊥平面B₁AE∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

得

ax+z=0 ax 2 +y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一个法向量

n

=(1，

-a

2

，-a)
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，有

a

2

-az0=0，解得z0=

1

2

又DP?平面B₁AE，∴存在点P，满足DP∥平面B₁AE，此时AP=

1

2

．

点评：本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应．