Question

对于一切x∈[-2，

1

2

]，不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：分x=0，x＞0，x＜0三种情况讨论，分离参数a后利用导数求函数的最值，从而求得实数a的取值范围．

解答： 解：当x=0时，对于任意实数a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；
当0＜x≤

1

2

时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≥-

1

x3

-

1

x2

+

1

x

．
设t=

1

x

 （t≥2），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t≥2时，f′（t）＜0，∴f（t）=-t³-t²+t为减函数，∴f（t）_max=f（2）=-10，
∴a≥-10；
当-2≤x＜0时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≤-

1

x3

-

1

x2

+

1

x

．
设t=

1

x

 （t≤-

1

2

），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t∈（-∞，-1）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，当t∈（-1，-

1

2

）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，
∴f（t）_min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
综上，对于一切x∈[-2，

1

2

]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10，-1]．

点评：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属中高档题．