Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n（n=1，2，3…），给出下列四个命题：
①数列{a_n}是等比数列；
②数列{S_n}是等比数列；
③?常数c＞0，使

n

i=1

1

ai

≤c（n∈N⁺）恒成立；
④若S_n（3a_n-2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，则γ∈（+∞，

10

3

）．
以上命题中正确的命题是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：①求出数列{a_n}的通项公式，根据等比数列的定义进行判断．
②求出数列{S_n}的通项公式，根据等比数列的定义进行判断．
③求出

n

i=1

1

ai

≤c(n∈N+)的数值，根据不等式的性质进行判断．
④将S_n（3a_n-2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，利用参数分离法求γ的取值范围即可进行判断．

解答： 解：①∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a_n+2=2S_n+1，
两式相减得a_n+2-a_n+1=2S_n+1-2S_n=2a_n+1，
即a_n+2=3a_n+1，
即

an+2

an+1

=3，（n≥2），
当n=1时，a₂=2a₁=2，

a2

a1

=2≠3，
∴数列{a_n}不是等比数列；∴①错误．
②a_n+1=2S_n=S_n+1-S_n，
即3S_n=S_n+1，
∴

Sn+1

Sn

=3，（n≥1），
即数列{S_n}是等比数列；∴②正确．
③由①知，当n≥2时，an=a23n-2=2•3^n-2，a₁=1，
则

1

an

=

1

2

•(

1

3

)n-2，n≥2，

1

a1

=1，
则

n

i=1

1

ai

=

1

a1

+

1 2 (1-( 1 3 )n-2)

1- 1 3

=1+

3

4

-

3

4

(

1

3

)n-2＜

7

4

，
∴当c≥

7

4

时，使

n

i=1

1

ai

≤c(n∈N+)恒成立；∴③正确．
④由S_n（3a_n-2γ）+2≥0得3S_na_n-2γS_n+2≥0，
即γ≤

3Snan+2

2Sn

（n=1，2，3…）恒成立，
当n=1时，γ≤

3a1a1+2

2a1

=

5

2

，
当n≥2时，γ≤

3Snan+2

2Sn

=

3

2

an+

1

Sn

=

3

2

an+

2

an+1

=

3

2

×2?3n-2+

2

2?3n-1

=3n-1+

1

3n-1

≥2

3n-1? 1 3n-1

=2，
当且仅当3n-1=

1

3n-1

，即3^n-1=1，n=1取等号，此时不成立．
设t=3^n-1，当n≥2时，t≥3，
∵y=3n-1+

1

3n-1

=t+

1

t

在[3，+∞）上单调递增，
∴y≥3+

1

3

=

10

3

，
∴要使γ≤

3Snan+2

2Sn

（n=1，2，3…）恒成立，
则γ≤

10

3

，
即γ∈(-∞，

10

3

]，∴④错误．
故正确的是②③，
故答案为：②③．

点评：本题主要考查数列的递增公式的应用，考查学生的运算和推理能力．正确应用等比数列的通项公式和前n项和公式是解决本题的关键．