Question

已知函数f（x）=x³+ax-2，（a∈R）
（l）若f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=

f′(x)-a，x≤0 1 x ， x＞1

，且f（x₀）=3，求x₀的值．
（3）若g（x）=

af′(x-1)，x≤1 1 x ，x＞1

，且在R上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的意义，f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，则f′（x）=3x²+a≥0，在（1，+∞）上恒成立．从而解得a≥-3．
（2）首先化简g（x）的解析式，由f（x₀）=3可得

x0≤0 g(x0)=3x02=3

或

x0＞0 g(x0)= 1 x0 =3

．进而求出x₀的值．
（3）首先化简g（x）的解析式，画出函数图象．依据图象即可得出当g（x）为减函数时实数a的取值范围为a≥1．

解答： 解；（1）f′（x）=3x²+a，
∵f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=3x²+a≥0，在（1，+∞）上恒成立．
即a≥-3x²在（1，+∞）上恒成立．
∴a≥-3．
∴a的取值范围是[-3，+∞）．
（2）g(x)=

f′(x)-a，x≤0 1 x ，x＞0

，
即g(x)=

3x2，x≤0 1 x ，x＞0

．
由f（x₀）=3，
则

x0≤0 g(x0)=3x02=3

或

x0＞0 g(x0)= 1 x0 =3

．
∴x₀=-1或x0=

1

3

．
（3）g(x)=

af′(x-1)，x≤1 1 x ，           x＞1

．
即g(x)=

3a(x-1)2+a2，x≤1 1 x ，                     x＞1

．
如右，图画出个g（x）的草图，
∵g（x）在R上是减函数，
∴

a＞0 a2≥1

．
∴a≥1．

点评：本题考查导数在最大最小值的应用，以及利用导数研究函数的单调性，数形结合思想在解题中的应用．属于难题．