Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点．
（1）求二面角A-DE-B的余弦值；
（2）求A₁B与平面ABD所成角的大小的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间向量及应用

分析：（1）以C为原点，以CB为x轴，以CA为y轴，以CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DE-B的余弦值．
（2）求出平面ABD的法向量，利用向量法能求出A₁B与平面ABD所成角的大小．

解答： 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=2，
D、E分别是CC₁与A₁B的中点．
以C为原点，以CB为x轴，以CA为y轴，以CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∴A（0，2，0），B（2，0，0），A₁（0，2，2），
E（1，1，1），D（0，0，1），
∴

DA

=(0，2，-1)，

DE

=（1，1，0），

DB

=（2，0，-1），
设平面ADE的法向量

m

=（x，y，z），
则

m

•

AD

=0，

m

•

DE

=0，
∴

2y-z=0 x+y=0

，∴

m

=（1，-1，-2），
设平面BDE的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），则

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2x1-z1=0 x1+y1=0

，∴

n

=（1，-1，2），
设二面角A-DE-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1+1-4

6 • 6

|=

1

3

．
∴二面角A-DE-B的余弦值为

1

3

．
（2）∵

AB

=（2，-2，0），

AD

=（0，-2，1），

A1B

=（2，-2，-2），
设平面ABD的法向量

p

=(x2，y2，z2)，则

p

•

AB

=0，

p

•

A1B

=0，
∴

2x2-2y2=0 -2y2+z2=0

，∴

p

=(1，1，2)，
设A₁B与平面ABD所成角为α，
则sinα=|cos＜

p

，

A1B

＞|=|

2-2-4

12 • 6

|=

2

3

，
∴α=arcsin

2

3

，
∴A₁B与平面ABD所成角的大小为arcsin

2

3

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．