Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，数列{a_n}满足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）． 则S₁₀₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n=

n，n为奇数 ( 1 2 ) n 2 -1，n为偶数

，由此利用分组求和法能求出S₁₀₀．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=1，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]，
∴n=1时，2a₃=2a₁+4=6，解得a₃=3，
n=2时，4a₄=2a₂=2，解得a4=

1

2

，
n=3时，2a₅=2a₃+4=10，解得a₅=5，
n=4时，4a₆=2a₄=1，解得a₆=

1

4

，
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，
∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1，即a_n=n
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，a_2m=（

1

2

）^m-1．
∴a_n=

n，n为奇数 ( 1 2 ) n 2 -1，n为偶数

，
∴S₁₀₀=（1+3+5+…+99）+（1+

1

2

+

1

4

+…+

1

249

）
=

50

2

(1+99)+

1×[1-( 1 2 )50]

1- 1 2

=2500+2-（

1

2

）⁴⁹
=2502-2^-49．
故答案为：2502-2^-49．

点评：本题考查数列的前100项和的求法，推导出a_n=

n，n为奇数 ( 1 2 ) n 2 -1，n为偶数

，是解题的关键，属于难题．