Question

己知函数f(x)=

x3-2x2

ex

（Ⅰ）求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数f'（x），利用导数和函数的极值之间的关系，即可求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，转化求求函数的最值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
f'（x）=

-x(x2-5x+4)

ex

=

-x(x-1)(x-4)

ex

，
f'（x）的符号变化情况如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+		-		+		-
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增	极大	递减

∴f（x）的极大值为f（0）=0和f（4）=

32

e4

，
极小值为f（1）=-

1

e

．
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，
等价为a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，
令x-2=t，则x=t+2，（t＞-2），
代入上述不等式得at＜a²-t+2，
①当x＞2时，x-2＞0，即t＞0，此时不等式等价为a＜t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1≥2

t• 2 t

-1=2

2

-1，当且仅当t=

2

t

，即t=

2

，x=2+

2

时取等号．
∴a＜2

2

-1．
②当x=2，即t=0，此时不等式at＜a²-t+2恒成立．
③当0＜x＜2，即-2＜t＜0，不等式at＜a²-t+2等价为a＞t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1=-[（-t）+（-

2

t

）]-1≤-2

(-t)•(- 2 t )

-1=-1-2

2

，
当且仅当-t=-

2

t

，即t=-

2

，即x=2-

2

时，等号成立．
∴a＞-1-2

2

．
综上a的取值范围是-1-2

2

＜a＜2

2

-1．

点评：本题主要考查函数的单调性和最值和导数之间的关系，考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强．