Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），且

p

∥

q

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求函数f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量共线（平行）的坐标表示,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）根据平面向量平行时满足的条件得到一个关系式，根据正弦定理及两角和的正弦函数公式化简后，即可得到cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得 

2

sin（2C-

π

4

），再根据A=

π

3

算出C的范围，得到sin（2C-

π

4

）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

p

=（2b-c，cosC），

q

=（2a，1），

p

∥

q

，∴（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（II）1-

2cos2C

1+tanC

=1-

2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵A=

π

3

，得C∈（0，

2π

3

），
∴2C-

π

4

∈（-

π

4

，

13π

12

），可得-

2

2

＜sin（2C-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（2C-

π

4

）≤

2

，
即三角函数式f（C）=1-

2cos2C

1+tanC

的取值范围是（-1，

2

]．

点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．