Question

函数f（x）=（m-1）lnx+mx²+1（m∈R）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意的x₁＞x₂＞0，总有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）依题意，可求得f′（x）=

m-1

x

+2mx=

2mx2+m-1

x

，对m分m≤0，0＜m＜1与m≥1三类讨论，即可研究f（x）的单调性；
（2）令h（x）=f（x）-2x，则h（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递增，于是当x＞0时，h′（x）=

2mx2-2x+m-1

x

≥0恒成立?2mx²-2x+m-1≥0（x≥0）恒成立，从而可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（m-1）lnx+mx²+1，m∈R，x＞0，
∴f′（x）=

m-1

x

+2mx=

2mx2+m-1

x

，
①m≥1时f′（x）＞0，f（x）是增函数；
②0＜m＜1时f′（x）=

2m(x+ 1-m 2m )(x- 1-m 2m )

x

，
当0＜x＜

1-m 2m

，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x≥

1-m 2m

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
③m≤0时f′（x）＜0，f（x）是减函数．
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵对任意的x₁＞x₂＞0，总有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）恒成立，
∴h（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，h′（x）=

m-1

x

+2mx-2=

2mx2-2x+m-1

x

≥0恒成立，
∴2mx²-2x+m-1≥0恒成立，
∴

2m＞0 (-2)2-4×2m(m-1)≤0

，即

m＞0 2m2-2m-1≥0

，
解得：m≥

1+ 3

2

．
∴实数m的取值范围为[

1+ 3

2

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数单调性的判定，突出分类讨论思想、函数方程思想的综合应用，考查导数法与构造法，属于难题．