Question

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=

1

2

AD•AE，则∠BAC=

 

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：由题设条件推导出△ABE∽△ADC，从而得到AB•AC=AD•AE，再由S=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，且S=

1

2

AD•AE，能求出sin∠BAC=1，由此能求出∠BAC．

解答： 解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC，∴

AB

AE

=

AD

AC

，即AB•AC=AD•AE，
∵S=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，且S=

1

2

AD•AE，
∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE，
∴sin∠BAC=1，
又∵∠BAC是三角形内角，
∴∠BAC=90°．
故答案为：90°．

点评：本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和三角形面积公式的合理运用．