Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M为AA₁中点，求：
（1）求证：平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB；
（2）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC₁的中点F，证明MF⊥平面B₁C₁CB，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB；
（2）连接DB，C₁B，可证∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．

解答： 解：（1）证明：取BC₁的中点F，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，M为AA₁中点，
MB=MC₁，∴MF⊥BC1，MF⊥BB₁，BB₁∩BC₁=B，
∴MF⊥平面B₁C₁CB，MF?平面MBC₁，
∴平面C₁MB⊥平面B₁C₁MB．
（2）连接DB，C₁B，
则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂线定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
∵侧面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．