Question

已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值的意义，|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x-1|+|x-2|=2的点的坐标，从而得出结论．
（2）转化不等式为|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．

解答： 解：（1）由f（x）＞2，即|x-1|+|x-2|＞2．
而|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上满足|x-1|+|x-2|=2的点的坐标为

1

2

和

5

2

，
故不等式|x-1|+|x-2|≥2的解集为﹛x|x≤

1

2

或x≥

5

2

﹜，
（2）由题知，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的

1

2

、

5

2

对应点到
1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[

1

2

，

5

2

]，
故答案为[

1

2

，

5

2

]．

点评：本题考查函数恒成立以及绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|x-1|+|x-2|=2的点的坐标为

1

2

和

5

2

，是解题的关键．考查转化思想的应用．