Question

已知直角坐标平面内一动点P到点F（2，0）的距离与直线x=-2的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点M（m，0）（m＞0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问：是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据直角坐标平面内一动点P到点F（2，0）的距离与直线x=-2的距离相等，利用抛物线的定义，可求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点M的直线方程为x=λy+m，代入y²=8x，求出AB，设存在直线x=x₀满足条件，则2|4λ²+m-x₀|=

(1+λ2)(64λ2+32m)

，从而可得（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0对任意的λ成立，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以F（2，0）为焦点，直线x=-2为准线的抛物线．
设方程为y²=2px，其中

p

2

=2，p=4．
所以，动点P的轨迹C的方程为y²=8x．（5分）
（Ⅱ）设过点M的直线方程为x=λy+m，代入y²=8x，得y²-8λy-8m=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8λ，y₁y₂=-8m．
于是x₁+x₂=λ（y₁+y₂）+2m=8λ²+2m．
所以AB的中点坐标为（4λ²+m，4λ）．
又AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+λ2)(y1-y2)2

=

(1+λ2)[(y1+y2)2-4y1y2

=

(1+λ2)(64λ2+32m)

．
设存在直线x=x₀满足条件，则2|4λ²+m-x₀|=

(1+λ2)(64λ2+32m)

化简，得（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0．
所以，（16+8x₀）λ²+8m-m²-x₀²+2mx₀=0对任意的λ成立，
所以

16+8x0=0 8m-m2- x 2 0 +2mx0=0

，解得x₀=-2，m=2．
所以，当m=2时，存在直线x=-2与以线段AB为直径的圆始终相切．（14分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．