Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； 
（Ⅱ）在线段PB上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角，若存在，求出BM的长，若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；
（Ⅱ）假设在线段PB上是存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角．以AD的中点O为原点，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算．

解答： （Ⅰ）证明：ABCD为正方形，
连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）假设在线段PB上是存在点M，
使得二面角A-MC-B为直二面角．
在四棱锥P-ABCD中，
∵底面ABCD是边长为a的正方形，
PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD，F为BD的中点．
∴以AD的中点O为原点，以OA为x轴，以OF为y轴，
以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=PD=AD=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），
C（-1，2，0），P（0，0，

3

），
设M（a，b，c），

BM

=t

MP

，
则

BM

=(a-1，b-2，c)，

MP

=（-a，-b，

3

-c），
∵

BM

=t

MP

，∴

a-1=-ta b-2=-tb c=( 3 -c)t

，解得

a= 1 t+1 b= 2 t+1 c= 3 t t+1

，
∴

AM

=（

1

t+1

-1，

2

t+1

，

3 t

t+1

），

AC

=(-2，2，0)，

BM

=（

1

t+1

-1，

2

t+1

-2，

3 t

t+1

），

BC

=(-2，0，0)，
设平面AMC的法向量

m

=(x，y，z)，则

m

•

AM

=0，

m

•

BM

=0，
∴

( 1 t+1 -1)x+ 2 t+1 y+ 3 t t+1 z=0 -2x+2y=0

，∴

m

=（1，1，

t-2

3 t

），
设平面BMC的法向量

n

=(x1，y1，z1)，则

n

•

BM

=0，

n

•

BC

=0，
∴

( 1 t+1 -1)x1+( 2 t+1 -2)y1+ 3 t t+1 z1=0 -2x1=0

，
∴

n

=(0，1，

2

3

)，
∵二面角A-MC-B为直二面角，
∴

m

•

n

=1+

t-2

3 t

•

2

3

=0，
解得t=

4

5

，
∴存在M点，M点坐标为（

5

9

，

10

9

，

4 3

9

）．
|

BM

|=

( 5 9 -1)2+( 10 9 -2)2+( 4 3 9 )2

=

8 2

9

，
∴BM的长为

8 2

9

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点的确定，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．