Question

已知函数f（x）=

ax3-3

2x2+1

（a＞2），若在区间[1，2]上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：给出的分式函数的分母恒大于0，在区间[1，2]上f（x）＞0恒成立转化为分子大于0恒成立，分离参数a后利用幂函数的单调性分析求最值，则a的范围可求．

解答： 解：∵2x²+1＞0恒成立，
∴要使函数f（x）=

ax3-3

2x2+1

（a＞2）在区间[1，2]上f（x）＞0恒成立，
只需g（x）=ax³-3＞0在区间[1，2]上恒成立．
即a＞

3

x3

在区间[1，2]上恒成立．
∵

3

x3

在[1，2]上为减函数，
∴(

3

x3

)max=3，
∴a＞3．
∴在区间[1，2]上使f（x）＞0恒成立的a的取值范是（3，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．