Question

已知向量

m

=（sinx，cosx），

n

=(

3

2

，

3

2

)，x∈R，函数f（x）=

m•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值；
（Ⅱ）根据第一问确定的f（x）解析式及正弦定理化简已知等式，由sinA不为0求出tanA的值，确定出A的度数，进而求出B的度数，即可确定出C的度数．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

sin（x+

π

6

），
∵-1≤sin（x+

π

6

）≤1，即-

3

≤

3

sin（x+

π

6

）≤

3

，
∴f（x）的最大值为

3

；
（Ⅱ）∵b=2af（A-

π

6

），
∴由（1）及正弦定理，化简得：sinB=2

3

sin²A，
又B=2A，∴sin2A=2

3

sin²A，
即2sinAcosA=

3

sin²A，
∵A是三角形的内角，∴sinA≠0，
∴cosA=

3

sinA，即tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，B=2A=

π

3

，
则C=π-（A+B）=

π

2

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．