Question

已知三棱锥P-ABC，∠PAC=∠ABC=90°，PA=AC=2BC，平面PAC⊥平面ABC，D、E分别是PB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-ED-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出AP⊥平面ABC，从而得到AP⊥BC，由此能够证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）由已知条件推导出∠PDA为A-DE-P所成的二面角，由此能求出A-DE-P所成的二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，
∴AP⊥AC，∴AP⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AP⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵E、D是PB、PC中点，∴DE∥BC，
∵BC⊥平面PAB，∴DE垂直平面PAB，
∴PD⊥DE，AD⊥DE，
∴∠PDA为A-DE-P所成的二面角，
∵EDP=90°，PE=2DE，∠DPE=30°，PD=

3

2

•PE，DE=

1

2

PE，
∠APE=90°，PC=PA，AE=2PE，AP=

3

PE，AD=

AE2-DE2

=

15

2

PE，
cos∠PDA=

PD2+AD2-PA2

2PD•AD

=

( 3 2 PE)2+( 15 2 PE)2-(2PE)2

2× 3 2 PE× 15 2 PE

=

5

15

．    
∴A-DE-P所成的二面角的余弦值为

5

15

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．