Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）若二面角A-BC-D为

π

3

，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-BC-D的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A-BCD的体积最大．（不要求证明）

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面垂直的性质证明BC⊥平面AOD即可证明BC⊥AD；
（2）根据二面角A-BC-D的大小，即可求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）根据条件进行猜想即可得到四面体A-BCD的最大体积．

解答： 证明：（1）取BC中点O，连结AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO=O，
∴BC⊥平面AOD．
又AD?平面AOD，
∴BC⊥AD．
（2）取AC中点M，AD中点N，
则OM∥AB，MN∥CD，
∴∠OMN为所求角（或其补交）
另一方面，由（1）知道BC⊥平面AOD，从而二面角A-BC-D的平面角为∠AOD=

π

3

．
∴△AOD为正三角形，
∴AD=2

3

，
∴ON=

3

2

AD=3
从而在∴△OMN中，cos∠OMN=

OM2+MN2-ON2

2OM•MN

=-

1

8

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

1

8

；
（3）当 θ=90°时，四面体ABCD的体积最大．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的性质和判断，以及空间二面角和异面直线所成角的计算，考查学生的计算能力．