Question

设f（x）=2^x，g（x）=4^x，且满足g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，求x的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，求出g[g（x）]、g[f（x）]和f[g（x）]的表达式，
再利用指数函数、对数函数的性质化简不等式，从而求出x的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=2^x，g（x）=4^x，
∴g[g（x）]=g[4^x]=44x，
g[f（x）]=g[2^x]=42x，
f[g（x）]=f[4^x]=24x；
又∵g[g（x）]＞g[f（x）]＞f[g（x）]，
∴44x＞42x＞24x，
两边取对数，得
4^x•lg4＞2^x•lg4＞4^x•lg2，
∴2•2^2x＞2•2^x＞2^2x；
即2^2x+1＞2^x+1＞2^2x，
∴2x+1＞x+1＞2x，
解得0＜x＜1；
∴x的取值范围是{x|0＜x＜1}．

点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．