Question

如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体．
（Ⅰ）求证BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC，DE⊥平面AFG．由此能够证明BC⊥平面AFG．
（Ⅱ） 以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在图甲中，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点，
∴DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC．…（2分）
在图乙中，
∵DE⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG=F，∴DE⊥平面AFG．
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面AFG．…（4分）
（Ⅱ）∵平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，
∴FA，FD，FG两两垂直．
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
则由题意知：A(0，0，2

3

)，B(

3

，-3，0)，E（0，-2，0），
∴

AB

=(

3

，-3，-2

3

)，

BE

=(-

3

，1，0）．…（6分）
设平面ABE的一个法向量为

n

=(x，y，z)．
则

n • AB =0 n • BE =0

，∴

3 x-3y-2 3 z=0 - 3 x+y=0

，
取x=1，则y=

3

，z=-1，∴

n

=(1，

3

，-1)．…（8分）
显然

m

=(1，0，0)为平面ADE的一个法向量，
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

5

5

．…（10分）
∵二面角B-AE-D为钝角，
∴二面角B-AE-D的余弦值为-

5

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．